Chinh phục Toán xác suất 10 - TSA - HSA

Ví dụ: Bài toán xác suất xếp hàng

Đề bài: Có $6$ nam (có Quang) và $4$ nữ (có Huyền) xếp hàng ngang. Tính xác suất để xếp giữa hai người nữ bất kỳ có đúng hai người nam và Quang, Huyền không ngồi cạnh nhau.

Lời giải chi tiết:

Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = 10! = 3628800$.

Để giữa hai người nữ bất kỳ có đúng hai người nam, hàng ngang phải có cấu hình:

$$N - \text{Nam} - \text{Nam} - N - \text{Nam} - \text{Nam} - N - \text{Nam} - \text{Nam} - N$$

Gọi $A$ là biến cố xếp thỏa mãn cấu hình trên.

• Số cách xếp $4$ nữ vào các vị trí $N$ là $4!$.
• Số cách xếp $6$ nam vào các vị trí còn lại là $6!$.

$\implies n(A) = 4! \times 6! = 17280$ cách.

Gọi $A \cap B$ là biến cố xếp thỏa mãn cấu hình trên nhưng Quang và Huyền ngồi cạnh nhau. Dựa vào cấu hình, Quang và Huyền chỉ có thể ngồi cạnh nhau tại $6$ cặp vị trí như hình minh họa.

Với mỗi cặp vị trí đó, ta xếp $3$ nữ còn lại ($3!$ cách) và $5$ nam còn lại ($5!$ cách).

$\implies n(A \cap B) = 6 \times 3! \times 5! = 4320$ cách.

Số biến cố thuận lợi của bài toán là:

$$n(C) = n(A) - n(A \cap B) = 17280 - 4320 = 12960$$

Xác suất cần tìm là:

$$P(C) = \dfrac{12960}{3628800} = \dfrac{1}{280}$$