TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT

TỔNG KHOẢNG CÁCH NHỎ NHẤT

     Trong thực tế, nhiều bài toán liên quan đến việc bố trí, lắp đặt hệ thống dây nối hoặc đường đi trong không gian đòi hỏi phải tối ưu hóa độ dài. Những tình huống như vậy thường được mô hình hóa bằng các bài toán hình học không gian, kết hợp với hình học tọa độ và các phép biến hình như đối xứng qua mặt phẳng. Nội dung dưới đây giúp rèn luyện tư duy phân tích, khả năng quy đổi bài toán không gian về các bài toán phẳng quen thuộc, từ đó giải quyết hiệu quả các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất. 

Bài toán cơ bản.

 Cho hai điểm $A, B$ khác phía so với $\Delta$ và véctơ $\vec{u}$ cố định cùng phương với $\Delta$. Tìm $E, F \in \Delta$ thỏa mãn $\vec{EF} = \vec{u}$ sao cho $AE + EF + FB$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:


Gọi $B_1$ là điểm thỏa mãn $\vec{BB_1} = -\vec{u}$ ($B_1$ hoàn toàn xác định).
Vì $\vec{EF} = \vec{u}$ nên $\vec{EF} = -\vec{BB_1} = \vec{B_1B} \Rightarrow EFB_1B$ là hình bình hành. Suy ra $FB = EB_1$.
Khi đó: \begin{align*} AE + EF + FB &= AE + |\vec{u}| + EB_1\\ &\ge AB_1+ |\vec{u}| \end{align*} Vì $|\vec{u}|$ không đổi, tổng trên nhỏ nhất khi vị trí tối ưu $E_0$ thỏa mãn $A, E_0, B_1$ thẳng hàng.
Vậy $\left\{E_0\right\} = AB_1 \cap \Delta$. Sau khi có $E_0$, ta tìm được $F_0$ thông qua hệ thức $\vec{E_0F_0} = \vec{u}$.

Bài tập về nhà:

Bài tập 1:

Tại một phân xưởng, đường băng chuyền sản phẩm được thiết kế chạy thẳng tắp. Một robot có nhiệm vụ gắp linh kiện từ kho $A$ (nằm cách băng chuyền $600$ mét) đặt lên băng chuyền tại một điểm $E$. Băng chuyền tự động di chuyển linh kiện một đoạn $10$ mét sang phía bên phải đến điểm $F$. Sau đó, một robot khác sẽ gắp linh kiện từ $F$ đưa đến trạm lắp ráp $B$.

Biết kho $A$ và trạm $B$ nằm cùng một phía của băng chuyền, trạm $B$ cách băng chuyền $500$ mét và hình chiếu vuông góc của $A, B$ lên băng chuyền cách nhau $800$ mét (hình chiếu của $B$ nằm bên phải hình chiếu của $A$). Tính tổng quãng đường (đơn vị mét) nhỏ nhất mà hai robot phải tự gắp và di chuyển, bỏ qua độ rộng của băng chuyền (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). [.......]

Bài tập 2:

Cận kề ngày Tết cổ truyền, anh Nghĩa dự định trang trí hệ thống đèn LED cho khoảng sân nhà hình chữ nhật $MNPQ$ có chiều dài $MQ=12$ m, $MN=8$ m. Để cung cấp điện cho hệ thống đèn LED, anh Nghĩa đi dây điện theo trình tự: $A \to B \to C \to T \to D \to E \to F \to H$ (như hình vẽ bên). Trong đó:

• Điểm $A$ nằm trên cột cổng cao $3$ m, vị trí chân cột cách cây Nêu $3$ m và chân cột nằm trên đoạn $MQ$.
• Đoạn $BC$ nằm trên bức tường hình chữ nhật $PQIJ$ có $PJ=4$ m (bức tường vuông góc với mặt đất), độ dài $BC=3$ m và $BC \parallel IJ$.
• Điểm $T$ nằm trên mái che hình chữ nhật $IJUV$ có $JU=10$ m (mái che song song với mặt đất).
• Cột đèn đặt tại góc $N$ và điểm $D$ nằm trên cột đèn cao $3$ m.
• Điểm $E, F$ nằm trên cây Nêu sao cho $EF=2$ m. Cây Nêu $MG$ vuông góc với mặt đất tại $M$, chiều cao $MG=10$ m.
• Điểm $H$ cách đỉnh $G$ một khoảng $HG=0{,}5$ m ($HG$ song song với mặt đất dọc theo trục $MN$).

Tính tổng độ dài dây điện ngắn nhất mà anh Nghĩa cần sử dụng để hoàn thành hệ thống đèn trang trí này (Đơn vị: mét, làm tròn kết quả đến hàng phần chục). [.......]